В этом параграфе: Теория Задачи с решениями Задачи для самостоятельной работы Тест по кинематике

§ 2. Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение

Необходимо знать:

Механическое движение. Система отсчета. Прямоугольная система координат. Радиус-вектор. Материальная точка. Траектория. Поступательное движение. Перемещение. Путь. Скорость. Средняя скорость. Средняя путевая скорость. Закон равномерного прямолинейного движения. Графики зависимости кинематических величин от времени.
Закон равноускоренного движения (зависимость x(t)). Зависимость проекции v_x скорости от времени. Ускорение. Путь и перемещение при равноускоренном прямолинейном движении. Средняя скорость.

Повторить:

Понятие вектора и его проекции. Единичный вектор. Сложение и вычитание векторов.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что отличает механическое движение от других форм движения?
2. На примере движения автомобиля рассмотрите поступательное и вращательное движения отдельных частей машины.
3. Что понимают под системой отсчета? системой координат? радиусом-вектором?
4. Укажите, в каких случаях рассматриваемое тело можно принять за материальную точку:
   1. ракету при установке ее на старте;
   2. ракету при расчете траектории ее полета;
   3. Землю при расчете скорости ее суточного вращения вокруг своей оси;
   4. Землю при расчете ее скорости движения по орбите вокруг Солнца.
5. Что значит установить закон движения? Какие существуют способы описания движения материальной точки?
6. Покажите, что описание движения материальной точки в векторной форме r(t) эквивалентно его описанию в координатной форме x(t), y(t), z(t). Каковы преимущества векторного описания движения?
7. Материальная точка при движении описала половину дуги окружности радиусом R (рис. 4). Определите пройденный точкой путь и модуль перемещения. Укажите направление средней скорости точки при этом перемещении, направление мгновенной скорости в точках А, В, С.
8. Тело переместилось из точки с координатами x₁ = 0, у₁ = 2 м в точку с координатами х₂ = 4 м, у₂= -1 м. Сделайте рисунок, изобразите вектор перемещения, найдите его модуль и его проекции на оси координат.
9. Движения материальных точек заданы уравнениями:
   x₁ = 3t, х₂ = -7 + 3t, х₃ = 7 - 3t.
   Опишите эти движения. Чем они отличаются и что в них общее? Постройте графики зависимости координат, пути и проекций v_x скоростей точек от времени.
10. На графике (рис. 5) представлены зависимости координат трех тел (I-III) от времени. Чему равны модули скоростей этих тел? Постройте графики зависимости пути и проекций Dr_x перемещения этих тел от времени.
11. Три материальные точки движутся прямолинейно вдоль оси по законам: х₁ = 2t², x₂ = 2t + 2t², х₃ = = 2t - 2t². Опишите их движение. Запишите зависимости от времени проекций на ось х скоростей этих точек. Постройте графики зависимости от времени координат, пути и проекций на ось х перемещения, скорости и ускорения материальных точек.
12. За каждую секунду модуль скорости тела изменяется на 1 м/с. Можно ли утверждать, что движение этого тела является равноускоренным и прямолинейным?
13. Совпадает ли направление ускорения с направлением скорости материальной точки?
14. Трогаясь с места, автомобиль движется равноускоренно и достигает скорости 5м/с. Определите среднюю скорость автомобиля за время разгона.
15. Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси х по закону х = 9 - 0,5t². Определите модуль скорости точки в момент времени, равный 1 с.
16. Чем отличается “ускоренное” прямолинейное движение от “замедленного”? Что можно сказать о знаках проекций скорости и ускорения на координатную ось в этих случаях?
17. Чем отличается “ускоренное” прямолинейное движение от “замедленного”? Что можно сказать о знаках проекций скорости и ускорения на координатную ось в этих случаях?
18. Самолет проходит взлетную полосу за 10 с и в момент отрыва от земли его скорость равна 100 м/с. С каким ускорением движется самолет?
19. Снаряд, скорость которого составляет 1000 м/с, пробивает деревянный бруствер за 10^-3 с и после этого имеет скорость 200 м/с. Считая движение снаряда в бруствере равнозамедленным, найдите толщину бруствера.

Задачи

2.1. Движения двух велосипедистов заданы уравнениями: х₁ = 5t, х₂ = 150 - 10t. Найти время и координату места встречи. Построить графики зависимости x(t).

2.2. Графики зависимости координат двух тел (I, II) от времени представлены на рис. 6. Определить время движения тел и путь, пройденный каждым телом до встречи, координату места встречи. В какой момент времени расстояние между телами равно начальному?

2.3. Движение материальной точки задано уравнениями: х = 2 + t, у = 1 + 2t. Написать уравнение траектории у = у(х) и построить траекторию на плоскости ху. Найти координаты точки при t = 0, скорость ее движения и направление скорости по отношению к оси х.

2.4. По прямому шоссе в одном направлении с постоянными скоростями движутся два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 10 м/с, второго - 20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в начальный момент времени равно 200 м. Найти время и координату места встречи мотоциклистов, приняв за начало отсчета начальное положение второго мотоциклиста.

2.5. Расстояние 30 м прямолинейного участка пути пешеход прошел за 20 с. Повернув под прямым углом к первоначальному направлению, он прошел еще такое же расстояние с той же скоростью. Найти среднюю скорость перемещения и ее направление по отношению к первоначальному направлению движения. Чему равна средняя скорость прохождения пути пешеходом?

2.6. Графики движения двух материальных точек (I,II) представлены на рис. 7. Написать кинематические уравнения движений точек х = x(t). Из графиков и уравнений найти время и координату встречи этих точек. В какой момент времени, отсчитанный от начала движения первой точки, расстояние между материальными точками равно начальному?

2.7. Даны кинематические уравнения движения двух материальных точек: x₁ = 20 - t и х₂ = 5 +2t. Определить время и координату места встречи точек. Решить задачу графически.

2.8*. Шарик движется равномерно и прямолинейно в плоскости ху со скоростью 1м/с под углом 30° к оси х. Написать уравнения зависимости координат х и у от времени и уравнение траектории шарика у = у(х), если начальные координаты x₀ = 0, y₀ = 40 см.

2.9. Автобус и мотоциклист движутся навстречу друг другу со скоростями, модули которых соответственно равны 10 и 20 м/с. Расстояние между ними в момент t₀ = 0 составляет 600 м. Найти время и координату места встречи автобуса и мотоциклиста, приняв за начало отсчета начальное положение автобуса. В какие моменты времени расстояние между автобусом и мотоциклистом было 300м?

2.10*. Поезд первую половину пути шел со скоростью, в 1,5 раза большей скорости на второй половине пути. Средняя путевая скорость поезда на всем пути была равна 43,2 км/ч. Каковы скорости поезда на первой и второй половинах пути?

2.11 Кинематическое уравнение движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: х = 2 + 2t - 0,5t². Чему равна проекция а_x ускорения точки? Найти момент времени, в который скорость точки равна нулю. Чему равна координата х в этот момент времени?

2.12 Движение точки вдоль оси х задано уравнением х= 12t - 2t². Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени от 1 до 4 с.

2.13Реактивный самолет, набирая скорость в течение 10 с, в последнюю секунду проходит путь, равный 95 м. Определить ускорение самолета и его скорость в конце этого интервала времени.

2.14 Поезд, двигаясь под уклон, прошел за 20 с путь 340 м и развил скорость 19 м/с. С каким ускорением двигался поезд и какой была скорость в начале уклона?

2.15* Шарик, брошенный вверх по наклонной плоскости, прошел последовательно два равных отрезка длиной / каждый и продолжал двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за t секунд, второй - за 3t секунд. Найти скорость шарика в конце первого отрезка.

2.16 В момент t₀= 0 поезд имел скорость 10 м/с, а через 5 с она стала равна 18 км/ч. Определить ускорение поезда и его среднюю скорость в этом интервале времени.

2.17 Во сколько раз скорость пули в середине ствола ружья меньше, чем при вылете из ствола?

2.18 С каким ускорением движется тело, если за восьмую секунду от начала движения оно прошло 30 м? Какой путь тело пройдет за пятнадцатую секунду?

2.19* Материальная точка движется вдоль оси х по закону х = 1 + 4t - t². За какое время точка пройдет путь, равный 8 м? Чему равен модуль перемещения точки за это время?

2.20* По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через 1 с и через 2 с после начала движения. Определить начальную скорость и ускорение движения шарика, считая его постоянным.

Звездочкой (*) помечены более оригинальные и сложные задания.