В этом параграфе: Теория Задачи с решениями Задачи для самостоятельной работы Тест по кинематике

§ 2. Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение

Равномерное прямолинейное движение. Скорость

Равномерным прямолинейным движением называют такое происходящее по прямолинейной траектории движение, при котором тело (материальная точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Перемещение тела в прямолинейном движении обычно обозначают s. Если тело движется по прямой только в одном направлении, модуль его перемещения равен пройденному пути, т.е. |s|=s. Для того, чтобы найти перемещение тела s за промежуток времени t, необходимо знать его перемещение за единичное время. С этой целью вводят понятие скорости v данного движения.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную величину, равную отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого было совершено это перемещение:

Направление скорости в прямолинейном движении совпадает с направлением перемещения.

Поскольку в равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения, скорость такого движения является величиной постоянной (v=const). По модулю

Из формулы (1.2) устанавливают единицу скорости.

В настоящее время в качестве основной системы единиц используют Международную систему единиц (сокращенно СИ - система интернациональная). Об этой системе рассказано далее. Единицей скорости в СИ является 1 м/с (метр в секунду); 1 м/с есть скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором материальная точка за 1 с совершает перемещение 1 м.

Пусть ось Ох системы координат, связанной с телом отсчета, совпадает с прямой, вдоль которой движется тело, а x₀ является координатой начальной точки движения тела. Вдоль оси Ох направлены и перемещение s, и скорость v движущегося тела. Из формулы (1.1) следует, что s=vt. Согласно этой формуле, векторы s и vt равны, поэтому равны и их проекции на ось О_х:

Теперь можно установить кинематический закон равномерного прямолинейного движения, т. е. найти выражение для координаты движущегося тела в любой момент времени. Поскольку х=x₀+s_x, с учетом (1.3) имеем

По формуле (1.4), зная координату x₀ начальной точки движения тела и скорость тела v (ее проекцию v_x на ось О_х), в любой момент времени можно определить положение движущегося тела. Правая часть формулы (1.4) является алгебраической суммой, так как и х₀, и v_x могут быть и положительными, и отрицательными (графическое представление равномерного прямолинейного движения дано далее).

Средняя и мгновенная скорости
прямолинейного неравномерного движения

Движение, при котором за равные промежутки времени тело совершает неравные перемещения, называют неравномерным (или переменным). При переменном движении скорость тела с течением времени изменяется, поэтому для характеристики такого движения введены понятия средней и мгновенной скоростей.

Средней скоростью переменного движения v_cp называют векторную величину, равную отношению перемещения тела s к промежутку времени t, за который было совершено это перемещение:

Средняя скорость характеризует переменное движение в течение только того промежутка времени, для которого эта скорость определена. Зная среднюю скорость за данный промежуток времени, можно определить перемещение тела по формуле s=v_ср·t лишь за указанный промежуток времени. Найти положение движущегося тела в любой момент времени с помощью средней скорости, определяемой по формуле (1.5), нельзя.

Как указывалось выше, когда тело движется по прямолинейной траектории в одну сторону, модуль его перемещения равен пройденному телом пути, т.е. |s|=s. В таком случае среднюю скорость определяют по формуле v=s/t, откуда имеем

Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость, которую тело имеет в данный момент времени (и следовательно, в данной точке траектории).

Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение

Такое прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным прямолинейным движением.

Быстроту изменения скорости характеризуют величиной, обозначаемой а и называемой ускорением. Ускорением называют векторную величину, равную отношению изменения скорости тела v-v₀ к промежутку времени t, в течение которого это изменение произошло:

Здесь V₀ - начальная скорость тела, т. е. его мгновенная скорость в момент начала отсчета времени; v - мгновенная скорость тела в рассматриваемый момент времени.

Из формулы (1.9) и определения равноускоренного движения следует, что в таком движении ускорение не изменяется. Следовательно, прямолинейное равноускоренное движение есть движение с постоянным ускорением (a=const). В прямолинейном равноускоренном движении векторы v₀, v и а направлены по одной прямой. Поэтому модули их проекций на эту прямую равны модулям самих этих векторов, и формулу (1.9) можно записать в виде

Из формулы (1.10) устанавливается единица ускорения.
В СИ единицей ускорения является 1 м/с² (метр на секунду в квадрате); 1 м/с² - это ускорение такого равноускоренного движения, при котором за каждую секунду скорость тела увеличивается на 1 м/с.

Формулы мгновенной и средней скоростей
равноускоренного движения

Из (1.9) следует, что v= v₀+at.

По этой формуле определяют мгновенную скорость v тела в равноускоренном движении, если его начальная скорость v₀ и ускорение а известны. Для прямолинейного равноускоренного движения эту формулу можно записать в виде

Если v₀ =0, то

Получим выражение для средней скорости прямолинейного равноускоренного движения. Из формулы (1.11) видно, что v=v₀ при t=0, v₁=v₀+a при t=1, v₂=v₀+2a=v₁+a при t=2 и т. д. Следовательно, в равноускоренном движении значения мгновенной скорости, которые тело имеет через равные промежутки времени, образуют такой ряд чисел, в котором каждое из них (начиная со второго) получается путем прибавления к предшествующему постоянного числа а. Это значит, что рассматриваемые значения мгновенной скорости образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, средняя скорость прямолинейного равноускоренного движения может быть определена по формуле

где v₀ - начальная скорость тела; v - скорость тела в данный момент времени.

Уравнение равноускоренного прямолинейного движения

Найдем кинематический закон прямолинейного равноускоренного движения. Для этого используем формулы (1.6), (1.11) и (1.13). Из них следует, что s=v_ср·t=(v₀+v)·t/2=(2v₀+at)·t/2,
следовательно,

Если начальная скорость тела равна нулю (v₀=0), то

По формулам (1.14) и (1.15) определяют путь, пройденный телом в равноускоренном прямолинейном движении (модуль перемещения тела, не изменяющего направления своего движения). Для случая, когда тело движется по оси О_х. из точки с координатой х₀, из формулы (1.14) получаем уравнение, выражающее зависимость координаты этого тела от времени. Поскольку

имеем

Формула (1.16) есть уравнение прямолинейного равноускоренного движения (кинематический закон этого движения). Следует помнить, что в формуле (1.16) v_0x и а_x могут быть как положительными, так и отрицательными, так как это проекции векторов v₀ и а на ось О_х.

Связь перемещения тела с его скоростью

Установим связь модуля перемещения s тела, совершающего равноускоренное прямолинейное движение, с его скоростью. Из формулы (1.10) находим, что t=(v-v₀)/a. Подставив это выражение и формулу (1.13) в формулу (1.7), получим

следовательно,

Если начальная скорость тела равна нулю (v₀=0), то v²=2as.