Задача 1
Условие
По реке плывет плот шириной 10 м со скоростью 1 м/с. По плоту перпендикулярно течению реки
идет человек. За 20 с он проходит от одного края плота до другого и обратно. Найти скорость,
перемещение и пройденный путь относительно плота и относительно берега.
Решение
В системе отсчета, связанной с плотом, пройденный путь равен удвоенной ширине плота, то есть
20 м.
Скорость в этой системе отсчета: v=L/t или 1 м/с.
Чтобы найти перемещение, зададим направление оси координат от одного края плота к другому вдоль
траектории пути человека. Тогда
SS=S1+S2
(здесь и далее жирным шрифтом обозначены вектора).
Но S1=-S2, следовательно, суммарное
перемещение равно нулю.
В системе отсчета, связанной с берегом:
vS=v1+v2,
где v1 - скорость плота относительно берега, v2 -
скорость человека относительно плота. Поскольку эти вектора перпендикулярны, то суммарная
скорость находится по теореме Пифагора и равна 1,41 м/с.
Перемещение человека относительно берега равно геометрической сумме векторов
S1 и S2. Абсолютное значение перемещения:
SS=v1·t
или 20 м.
Пройденный путь: L=vS·t
или 28 м.
Задача 2
Условие
Уравнение движения материальной точки задано выражением x=0,4·t2.
Написать зависимость v=f(t) и построить график. Показать на графике штриховкой площадь,
численно равную пути, пройденному точкой за первые 4 с. Вычислить этот путь.
Решение
Для того, чтобы найти скорость как функцию от времени по известному уравнению движения,
необходимо продифференцировать это уравнение. В результате получим:
v=0.8·t. Соответствующий график выглядит следующим образом:
Как и требовалось, на графике отмечена площадь, численно равная пройденноиу пути.
Проинтегрировав полученную функцию v=0.8·t
по времени в пределах [0,4], получим, что пройденный путь равен 6,4 м.
Задача 3
Условие
При строительстве высотного жилого дома с высоты 30 метров случайно упал кирпич.
За какое время он пролетит весь путь? Первые 15 метров? Вторые 15 метров?
Решение
При решении задач на свободное падение следует помнить, что ускорение свободного падения
g=9,8 м/с2. Также при выборе системы координат необходимо учитывать,
что это вектор, направленный вертикально вниз.
В нашем случае, выберем начало координат в точке начала падения, то есть на высоте 30 метров
над поверхностью, а ось координат направим вертикально вниз. В этом случае направление движения
кирпича, направление вектора g и направление оси совпадают, что позволяет от векторов
перейти к их значениям.
запишем выражение пройденного пути выбранной системе координат для тела, двигающегося без
начальной скорости:
s=g·t2/2.
Отсюда можно выразить t и найти время, необходимое на весь путь, а также на первые и вторые
15 метров: t1=2,47 с., t2=1,74 с.,
t3=0,73 с.
Задача 4
Условие
Найти линейную скорость Ярославля, обусловленную суточным вращением Земли, если город
расположен на 57 град. 37 мин. северной широты, радиус Земли
6,4·106 м.
Решение
Линейная скорость точки при вращательном движении определяется по формуле
v=w·R1, где w - угловая скорость
суточного вращения Земли, R1 - радиус, соединяющий точку с центром вращения.
В данном случае, R1=R·cosa,
w=2·p/T (T - период суточного вращения Земли).
Проведя вычисления, получим, что v=249 м/с.
