В этом параграфе: Теория Задачи для самостоятельной работы

§ 21. Момент силы

Равновесие тела с закрепленной осью вращения.
Момент силы. Правило моментов

Проделаем следующий опыт. К телу, имеющему неподвижную ось вращения О (рис. 39), приложим в точке А силу F₁ не проходящую через эту ось. Эта сила вызывает поворот тела. Затем в точке В приложим силу F₂, подобрав ее модуль и направление таким образом, чтобы тело оказалось в равновесии. Очевидно, это произойдет только тогда, когда прямая, вдоль которой действует равнодействующая F сил F₁ и F₂, равная их векторной сумме (т. е. F = F₁ + F₂), пройдет через ось вращения О этого тела.

Убедиться в этом: можно, перенеся точки приложения сил F₁ и F₂ вдоль линий их действия в точку пересечения этих линий, т. е. в точку С, и построив на векторах сил F₁ и F₂ параллелограмм СDЕК, диагональ которого СD по модулю и направлению равна равнодействующей F сил F₁ и F₂. Как видно из рис. 39, продолжение этой диагонали действительно проходит через ось вращения О, т. е. тело находится в равновесии.

Чтобы установить условие равновесия тела с неподвижной осью вращения, сделаем добавочное построение. Из точки О проведем прямые ОL || СВ, ОР || СА, ОМ^СА и ОN^СВ. Длину перпендикуляра, опущенного из оси вращения на прямую, вдоль которой действует сила, принято называть плечом силы. Следовательно, |ОМ| = d₁ есть плечо силы F₁, а |ОN| = d₂ есть плечо силы F₂ относительно оси вращения О.

Так как DСDЕ ~ DCLО, то |CD|/|DE| = |CL|/|OL|. Поскольку |CL| = |OP|, а |DE| = |CK| получаем |CD|/|DE| = |OP|/|OL|, т.е. F₁/ F₂ = |OP|/|OL|. В DМLО угол МLО является смежным углу СLО параллелограмма СLОР, а в DОРN угол ОРN является смежным углу СРО этого параллелограмма. В параллелограмме противоположные углы равны, т. е. РСLО = РСРО, значит, РМLО = РNРО, т. е. DMLO ~ DNРО. Поэтому |OP|/|OL| = |ON|/|OM|, т.е.

Из формул (4.4) и (4.5) получаем, что F₁/ F₂ = d₂/ d₁, т.е.

Величину

равную произведению силы на ее плечо, называют моментом силы. Момент силы характеризует вращательное действие этой силы и во вращательном движении играет ту же роль, что и сила в поступательном движении.
С учетом (4.7) формула (4.6) имеет вид

Формула (4.8), так же как и формула (4.6), выражает условие равновесия тела с неподвижной осью вращения.

Моменты сил, вызывающих вращение тел по часовой стрелке, принято считать положительными, а против часовой стрелки - отрицательными. Момент силы, проходящей через ось вращения, равен нулю (так как плечо этой силы равно нулю).

Как видно из рис. 39, М₁=F₁l₁<0, а М₂=F₂l₂>0, поэтому формулу (4.3) можно записать в виде М₁ + М₂=0.

Следовательно, тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил относительно данной оси равна нулю, т. е. если сумма, моментов сил, действующих на тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, действующих на тело против часовой стрелки. Это условие равновесия тел с неподвижной осью вращения называют правилом моментов.

За единицу момента силы в СИ принят момент силы 1 Н, линия действия которой отстоит от оси вращения на 1м. Эту единицу называют ньютон-метром (Н-м).

Рычаги

Рычагом называют имеющее неподвижную ось вращения твердое тело, на которое действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг этой оси. Различают рычаги первого и второго рода.

Рычагом первого рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена между точками приложения сил, а сами силы направлены в одну и ту же сторону (рис. 40). Примерами рычагов первого рода могут служить коромысло равноплечих весов, железнодорожный шлагбаум, колодезный журавль, ножницы и т. д.

Рычагом второго рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена по одну сторону от точек приложения сил, а сами силы направлены противоположно друг другу (рис. 41). Примерами рычагов второго рода являются гаечные ключи, различные педали, щипцы для раскалывания орехов, двери и т. д.

Согласно правилу моментов, рычаг (любого рода) уравновешен только тогда, когда М₁ = М₂. Поскольку

F₁l₁ = F₂l₂. Из последней формулы следует, что

т. е. при равновесии рычага под действием двух сил модули этих сил обратно пропорциональны их плечам. Из (4.9) видно, что с помощью рычага можно получить выигрыш в силе тем больший, чем больше соотношение плеч. Это широко используют на практике.

Пара сил

Две равные по модулю антипараллельные силы, приложенные к телу в разных точках, называют парой сил. Примерами пары сил могут служить силы, которые приложены к рулевому колесу автомобиля (рис. 42, а), электрические силы, действующие на диполь , - рис. 42, б, магнитные силы, действующие на магнитную стрелку , - рис. 42, в и т. д.

Пара сил не имеет равнодействующей, т. е. совместное действие этих сил нельзя заменить действием одной силы. Поэтому пара сил не может вызвать поступательное движение тела, а вызывает только его вращение.

Если при повороте тела под действием пары сил направления этих сил не изменяются (рис. 42, б, в), то поворот тела происходит до тех пор, пока обе силы не окажутся действующими противоположно друг другу вдоль прямой, проходящей через ось вращения тела.

Пусть на тело, имеющее закрепленную ось вращения О, действует пара сил Р и Т (рис. 43). Моменты этих сил М₁=Fl₁<0 и М₂=Fl₂<0.

Сумма моментов М₁ + М₂ = F(l₁ + l₂) = F_l № 0, следовательно, тело не находится в равновесии. Кратчайшее расстояние l = l₁ + l₂ между параллельными прямыми, вдоль которых действуют силы, образующие пару сил, называют плечом пары сил;

М = Fl - это момент пары сил. Следовательно, момент пары сил равен произведению модуля одной из сил этой пары на плечо пары независимо от положения оси вращения тела при условии, что эта ось перпендикулярна плоскости, в которой находится пара сил.

Если пара сил действует на тело, не имеющее закрепленную ось вращения, она вызывает вращение этого тела вокруг оси, проходящей через центр масс данного тела.

Вопросы для самоконтроля:

Сделав пояснительный чертеж, установите условие равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения.

Что называют плечом силы? Что называют моментом силы? Какая формула выражает смысл этого понятия? Какова единица момента силы в СИ?

Какую роль играет момент силы во вращательном движении?

Как определяют знак момента силы? Чему равен момент силы, проходя щей через ось вращения?

Сформулируйте и запишите условие равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения (правило моментов).

Что такое рычаг? Какой рычаг называют рычагом первого рода? второго рода? (Ответы иллюстрируйте рисунками.) Приведите примеры рычагов первого и второго рода.

Выведите формулу, выражающую соотношение между модулями сил, приложенных к рычагу, и плечами этих сил. Каково применение рычагов?

Что называют парой сил? Имеет ли она равнодействующую? Какое действие вызывает пара сил?

Что называют плечом пары сил? Моментом пары сил?

Вокруг какой оси вращается под действием пары сил тело, не имеющее закрепленной оси вращения?