В этом параграфе: Теория Задачи для самостоятельной работы

§ 20. Сложение сил

Сложение сил, приложенных в одной точке

Обычно на тело действуют одновременно несколько сил. Чтобы установить результат их действия, вводят понятие равнодействующей силы, т. е. такой силы, которая производит натело такое же действие, как и несколько одновременно действующих на него сил. Силы, заменяемые равнодействующей силой, называют составляющими. Нахождение равнодействующей нескольких сил называется сложением сил.

Рассмотрим случай, когда на тело действуют две силы, приложенные в одной точке и составляющие между собой угол, не равный 0 или p. Пусть через два неподвижных блока, закрепленных на вертикальной доске, перекинута нить, на концах которой подвешены слева четыре, а справа три одинаковых груза . Если к этой нити в точке O, расположенной между блоками, подвесить пять таких же грузов, система придет в равновесие.

Пусть вес каждого груза равен 1 Н. Следовательно, равновесие системы происходит под действием трех сил, приложенных в точке О, а именно F₁= 4 Н, F₂ = 3 Н и R' = 5 Н.

Выбрав масштаб (1 деление = 1 Н), изобразим эти силы векторами F₁, F₂ и R'. Построим на векторах сил F₁ и F₂, как на сторонах, параллелограмм и изобразим его диагональ вектором R. Измерим в том же масштабе длину этой диагонали (т. е. модуль вектора К). Оказывается, R = 5 Н. Таким образом, R = — R', т. е. сила R компенсирует (уравновешивает) силу R'. Но в то же время, как мы видели, сила R' компенсирует (уравновешивает) действие сил F₁ и F₂. Следовательно, сила R оказывает на систему в точке О такое же действие, как и силы F₁ и F₂, т. е. является их равнодействующей и представляет собой их векторную (геометрическую) сумму, т. е. R = F₁ + F₂.

Таким образом, равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке и действующих на тело под углом друг к другу, по модулю и направлению равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах этих сил, как на сторонах. Модуль равнодействующей силы определяют по формуле

где F₁ и F₂ — модули составляющих сил, к — угол между этими силами.

Рассмотрим частные случаи.

а) Две силы, приложенные в одной точке, действуют по одной прямой в одну сторону (рис. 36). В этом случае а = 0 и из формулы (4.1) следует, что

б) Две силы, приложенные в одной точке, действуют по одной прямой в противоположных направлениях (рис. 37). В этом случае a = p , и из формулы (4.1) следует, что

Как мы видели в эксперименте, при равновесии тела (точки О) под действием сил F₁ , F₂ и R' имеют место соотношения R = — R' и R = F₁ + F₂, значит, F₁ + F₂ + R' = 0. Следовательно, тело (при отсутствии вращения) находится в равновесии в том случае, когда равнодействующая всех действующих на него сил (т. е. векторная сумма этих сил) равна нулю.

Разложение сил на составляющие

Замену одной силы двумя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила, называют разложением сил. Разложение сил производят также по правилу параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой известны) на две, приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, если известны:

1. направления обеих составляющих сил;
2. модуль и направление одной из составляющих сил;
3. модули обеих составляющих сил.

Разложение сил на составляющие широко используют в технике и в строительстве.

Сложение параллельных сил

Рассмотрим случай, когда на твердое тело действуют две параллельные силы F₁ и F₂, направленные в одну сторону и приложенные в точках A и B (рис. 38).

Для нахождения равнодействующей этих сил поступим следующим образом. В точках Л и В приложим равные по модулю и противоположные по направлению силы F (при этом равновесие тела не нарушается). Тогда в точке А под прямым углом друг к другу будут приложены силы F₁ и F, а в точке B — соответственно силы F₂ и F.

Найдем их равнодействующие. Очевидно, что R₁ = F₁ + F, а R₂ = F₂ + F. Как видно из рис. 38, R₁ и R₂ не параллельны друг другу.

В твердом теле точку приложения силы можно переносить вдоль линии действия этой силы. Линии действия сил R₁ и R₂ пересекаются в точке О. В эту точку мы и перенесем силы R₁R₂. Они окажутся приложенными в одной точке и их равнодействующую R можно найти по правилу параллелограмма, построенного на векторах сил R₁ и R₂, как на сторонах.

В то же время, если мы в точке О разложим силу R₁ на составляющие F₁ и F, а силу R₂ на составляющие F₂ и F, то обе составляющие F (равные по модулю и противоположные по направлению) будут взаимно компенсироваться, а силы F₁ и F₂ окажутся направленными по одной прямой в одну сторону. Следовательно, их равнодействующая R равна их сумме и направлена в ту же сторону. Ее модуль составляет R = F₁ + F₂.

Из точки О эту равнодействующую R перенесем вдоль линии ее действия в точку С. Расстояния между точками приложения сил F₁ и F₂ и их равнодействующей R равны |AC| = l₁ и |BС| = l₂.

Из рис. 38 видно, что D OR₁F₁ ~ D AOC. Поэтому , т.е. , следовательно, . (4.2)

Поскольку D OR₂F₂ ~ D OBC, имеем , т. е. . Следовательно, .     (4.3)

Из (4.2) и (4.3) имеем F₁l₁ = F₂l₂, т. е. l₂/l₁ = F₁/F₂.

Таким образом, равнодействующая двух параллельных, одинаково направленных сил параллельна им, равна их сумме и одинаково с ними направлена, а точка приложения этой равнодействующей делит расстояние между точками приложения составляющих на части, обратно пропорциональные силам.

Вопросы для самоконтроля:

Какую силу называют равнодействующей? Какие силы называют составляющими? Что такое сложение сил?

Сделав пояснительный рисунок, опишите эксперимент, в котором устанавливают правило сложения сил (правило параллелограмма). Как его формулируют?

По какой формуле определяют модуль равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке?

Чему равны равнодействующие двух сил, действующих на тело по одной прямой в одинаковом и в противоположном направлениях? Напишите соответствующие формулы.

Каково условие равновесия невращающегося твердого тела, на которое действуют несколько сил?

Что называют разложением сил? По какому правилу его производят?

При каких условиях задача разложения силы на составляющие имеет однозначное решение?

Сделав чертеж, выведите формулы, по которым определяют значение равнодействующей двух параллельных, одинаково направленных сил и положение точки приложения этой равнодействующей. Сформулируйте правило сложения этих сил.