В этом параграфе: Теория Задачи с решениями Задачи для самостоятельной работы Тест по динамике

§ 14. Движение планет и искусственных спутников. Первая космическая скорость

Повторить:

Законы Ньютона. Сила трения покоя. Кинематика движения по окружности: линейная и угловая скорости, центростремительное ускорение, нормальное и тангенциальное ускорения.

Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоянная. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость. Невесомость. Динамика и кинематика движения по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Вопросы для самоконтроля:

1. Как направлена равнодействующая всех сил, действующих на тело при его движении по окружности с постоянной по модулю скоростью?
2. Ведро с водой вращают в вертикальной плоскости. При каких условиях вода не будет выливаться из ведра при прохождении им верхней точки траектории?
3. Объясните возможность движения мотоциклиста по внутренней поверхности вертикального цилиндра в известном цирковом номере.
4. Почему при движении по закруглению дороги велосипедист отклоняется от вертикального положения? От чего зависит угол наклона?
5. При каких условиях машину не занесет на закруглении дороги? Почему водитель должен быть особенно внимателен в сырую погоду, во время листопада и при гололеде?
6. Материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Нить образует с вертикалью угол a. Чему равно отношение центростремительного уско-рения точки к ускорению свободного падения?
7. Груз совершает колебания на длинной невесомой, нерастяжимой нити. Как направлена равнодействующая сил, действующих на груз, находящийся:
   1. в крайней точке траектории;
   2. в нижней точке траектории?
8. В каком направлении и с какой горизонтальной скоростью должен лететь вдоль экватора самолет, чтобы компенсировать уменьшение веса, обусловленное вращением Земли?
9. На какой стадии движения межпланетного корабля космонавт почувствует состояние невесомости?
10. Почему космические ракеты, как правило, запускают в направлении с запада на восток? Почему наиболее выгодно запускать ракеты в плоскости экватора?
11. Найдите формулу для расчета первой космической скорости. Как можно ее выразить через ускорение свободного падения g₀?
12. Выведите формулу для расчета скорости движения спутника планеты по круговой орбите на высоте h над поверхностью планеты, масса которой М.
13. Во сколько раз скорость спутника, вращающегося по круговой орбите радиусом, равным удвоенному радиусу планеты, меньше первой космической скорости для этой планеты?
14. Получите формулу для периода обращения искусственного спутника планеты по круговой орбите. Период выразите через массу планеты и радиус орбиты спутника.

Задачи

14.1. Гирька массой 0,5 кг, привязанная к веревке, равномерно движется по окружности в вертикальной плоскости. Найти разность между значениями натяжения вежи в нижнем и верхнем положениях гирьки.

14.2. На горизонтальной дороге автомобиль делает поворот радиусом 16 м. Какова наибольшая скорость, которую может развить автомобиль, чтобы его не занесло, если коэффициент трения скольжения колес о дорогу равен 0,4? Во сколько раз изменится эта скорость зимой, когда коэффициент трения станет меньше в 4 раза?

14.3. Самолет, летящий со скоростью 900 км/ч, выполняет "мертвую петлю". Каков должен быть радиус петли, чтобы наибольшая сила, прижимающая летчика к сиденью, была равна пятикратной силе тяжести летчика?

14.4. Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по окружности радиусом 30 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?

14.5. В системе координат х, у, где координаты х и у даны в метрах, тело массой 6 кг движется по траектории вида х₂ + у₂ = 25 с постоянной по модулю скоростью. Равнодействующая сил, действующих на тело, равна 60 Н. Найти модуль скорости тела.

14.6. С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 40 м, чтобы пассажир на мгновение оказался в состоянии невесомости?

14.7. Мальчик вращается на качелях "гигантские шаги" с постоянной частотой 16 об/мин, описывая в горизонтальной плоскости окружность. Длина канатов равна 5 м, масса мальчика 45 кг. Найти:

1. угол, который составляют с вертикалью канаты "гигантских шагов";
2. натяжение канатов;
3. скорость движения мальчика по окружности.

14.8. Велотрек имеет закругление радиусом 40 м. В этом месте наклон плоскости дорожки к горизонту составляет 40°. С какой максимальной скоростью может ехать велосипедист при таком наклоне?

14.9*. В вагоне поезда, идущего равномерно по закруглению пути со скоростью 72 км/ч, производится взвешивание груза с помощью динамометра. Масса груза 5 кг, радиус закругления 200 м. Определить показание динамометра.

14.10*. Бусинка может свободно скользить по обручу радиусом 4,5 м, который вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр и лежащей в плоскости обруча, с угловой скоростью 2 рад/с. На какую максимальную высоту относительно нижней точки обруча может подняться бусинка?

14.11.Плотность некоторой планеты такая же, как у Земли, а радиус вдвое меньше. Во сколько раз первая космическая скорость для Земли больше первой космической скорости для данной планеты?

14.12.Первый спутник вращается по круговой орбите на высоте, равной радиусу планеты, а второй - на высоте, в 7 раз большей. Во сколько раз скорость первого спутника больше скорости второго?

14.13.Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. Какое должно быть расстояние от поверхности Земли до этого спутника, чтобы он был неподвижен по отношению к наблюдателю, находящемуся на Земле?

14.14.Искусственный спутник вращается по круговой орбите со скоростью 12 км/с вокруг некоторой планеты, радиус которой 10000 км. Ускорение свободного падения на поверхность этой планеты 28,8 м/с². Чему равен радиус орбиты спутника?

14.15.Найти зависимость периода обращения искусственного спутника, вращающегося по круговой орбите у поверхности планеты, от средней плотности планеты.

14.16.Вычислить первую космическую скорость для планеты Марс, если радиус планеты 3380 км, а ускорение свободного падения 3,86 м/с².

14.17.Вычислить первую космическую скорость для Венеры, если масса планеты 4,9·10²⁴ кг, а радиус 6100 км.

14.18.Во сколько раз первая космическая скорость для Земли больше линейной скорости движения спутника по круговой орбите на высоте, равной 8 радиусам Земли над ее поверхностью?

14.19.Скорость спутника, движущегося по круговой орбите на высоте 5000 км над поверхностью планеты, равна 5 км/с. Ускорение свободного падения на поверхность этой планеты 10 м/с². Определить радиус планеты.

14.20.Во сколько раз период обращения спутника по круговой орбите на высоте, равной радиусу планеты, над ее поверхностью больше периода обращения спутника, движущегося с линейной скоростью, равной первой космической скорости для этой планеты?

Звездочкой (*) помечены более оригинальные и сложные задания.